Dreapta perpendiculara pe un plan

Definitie: O dreapta este perpendiculara pe un plan daca este perpendiculara pe orice dreapta din plan.

Teorema: O dreapta perpendiculara pe doua drepte concurente dintr-un plan este perpendiculara pe plan.

Observatii:

• In aplicatii pentru a demonstra ca o dreapta este perpendiculara pe un plan folosim aceasta teorema.
• Pentru a arata ca doua drepte sunt perpendiculare, demonstram ca una din ele este perpendiculara pe un plan ce contine cealalta dreapta.

Teorema: Dintr-un punct se poate duce pe un plan o perpendiculara si numai una.(Analogie cu teorema: dintr-un punct exterior unei drepte se poate duce o perpendiculara pe acea dreapta si numai 

una).

Definitie: Distanta dintre un punct si un plan este lungimea segmentului determinat de punct si de plan pe perpendiculara dusa din punct pe plan.

Inaltimea piramidei

Inaltimea piramidei este segmentul de pe perpendiculara dusa din varful piramidei pe baza.

O piramida se numeste piramida regulata daca baza ei este un poligon regulat, iar inaltimea cade in centrul bazei.

Piramida triunghiulara regulata, numita si tetraedru cu fetele laterale triunghiuri echilaterale se numeste tetraedru regulat.

Tetraedrul are 4 inaltimi fiindca orice fata poate fi considerata baza.

Probleme.

1. Pe planul triunghiului ABC echilateral de latura 12 cm. Se ridica perpendiculara din centrul cercului circumscris OM, pe planul triunghiului OM=24 cm. Sa se calculeze segmentele MA si MD unde D este la mijlocul laturii BC.

2. Pe planul patratului ABCD de latura 10cm. Se ridica din centrul cercului circumscris perpendiculara OM pe planul patratului, OM=15cm. Sa se calculeze MA si MP unde P este mijlocul laturii AB.

3. Pe planul patratului ABCD de latura 24cm. Se ridica perpendicularele AM si CN, AM=12cm. si CN=7cm.

Sa se afle:

i) Distanta de la punctul O, centrul cercului circumscris patratului la dreapta MN.

ii) Distantele MC si ND.

iii) Distantele MO si NO.

4. Se da triunghiul echilateral ABC de latura 12 cm.Se ia un punct B in afara planului ABC, astfel incat distantele de la M la varfurile triunghiului sunt congruente si egale cu 10cm. Sa se afle distanta de la punctul M la planul triunghiului ABC.

5. Se da  tetraedrul regulat VABC cu muchia de 6cm. Sa se calculeze inaltimea tetraedrului. Generalizare:sa se calculeze inaltimea tetraedrului regulat cu muchia a cm.

6. Sa se calculeze inaltimea unei piramide hexagonale cu muchia laterala egala cu muchia bazei si egala cu 12 cm.